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【期待値とは?】アモンラーcの理論考察【その3】

アモンラーcの考察その1
アモンラーcの考察その2で、アモン靴がどの程度の耐久力を持っていたかが分かったと思います。

*5月25日に17時頃、分かりにくい部分に補足説明を追加しました


今回はそれを理論的に考えてみようと思います。
最初に…申し訳ありません。とっても難しい記事になってしまいました。

そしてその結果は、
「こう考えると理論的にも考えることができるよ?」という考え方を提示するだけで新しい事実は特にありません。

また…キリエはログに重複しているように表示されエフェクトも出るが実は重複しないという情報もいただきました。
その可能性も否定できないので考察する必要があると思います。(今回はしませんが)



文字ばっかり、数字ばっかり…そんな戦いにも耐えられる方だけが、見てくださると嬉しいです。
*数学的な間違いがあれば言ってもらえるともっと嬉しい!



この理論考察の上で大切になってくるのは、期待値という言葉です。
残念ながらこの「期待値」という言葉は違う意味で使われていることが多いです。

余談ですが普段使うが言葉は移り変わっていくものなので、定義が曖昧になるのは仕方ないことなのです。
しかし「期待値」という言葉は数字を議論する上で大切な意味を持ちます。その意味をとり違えることは語弊を招きますね。



-----期待値とは-----('ω')ノ

確率論において、確率変数の期待値とは確率と確率変数を掛けた総和を取ったものである。(wikiより
はい、文章だけだと意味不明ですね。

一つここで期待値というものを考える具体例を見てみましょう。


あなたは1000円持っています。

目の前に怪しい人がいます。こんな話を持ちかけてきました。
「一回1000円のゲームをしましょう。サイコロを振って、その目の数×1000円を貴方にあげます」
*サイコロの5が出た場合、5×1000=5000円貰えるということ。

さて、あなたはこのゲームを受けますか?
感覚的に考えて、どんなに悪くても1000円は貰えるのでやる価値ありますね。


さて…もしこのゲーム1回2000円だったらどうですか?
1が出たら損をして2が出たら±0になり3以上の場合は得をするわけです。

う~ん、微妙なラインですね。
個人的には人生は冒険だと思うのでやってみたいところです。

さて、ここからが問題です。1回いくらを払ってまでなら数学的に得をするのでしょうか???

これを考える上で重要なのが期待値という概念なのです。


さてさて、どんどん話を進めます。

期待値の求め方は、確率と確率変数を掛けたものの総和ですね。

上のようなゲームをする場合

1、2、3、4、5、6の目が出る確率は、それぞれ1/6ですね。

1が出た場合貰えるお金は1000円なので1/6×1000=1000/6となるわけです。
これが確率と確率変数を掛けたものです。

2が出た場合はどうでしょうか。
1/6×2000=2000/6ですね。

3の場合は
1/6×3000=3000/6

4の場合は
1/6×4000=4000/6

5の場合は
1/6×5000=5000/6

6の場合は
1/6×6000=6000/6


つまり確率と確率変数を掛けた総和というのは・・・

1000/6+2000/6+3000/6+4000/6+5000/6+6000/6=21000/6
21000/6=3500となるわけです。

さて、この3500という数字は何を意味するのでしょうか?最初から横着せずに読んでらっしゃる皆様ならきっとわかると思います。
つまり、3500という数字はサイコロを一度振ってお金を貰うという試行をした際に期待できる金額なわけです。

先ほどの話に戻りますと、一回3500円までならやる価値があるということです。
一度試行して、3500円期待できるのであれば1回1000円なら2500円の儲けが期待できるわけですね。

同じように考えて、防具などを精錬したときの期待値を求めることも可能です(今回はしませんが)
しかし、決してほしい武器を精錬するのに必要なお金ではありません
それは期待値でなく、単なる経費です。


ーーーーーーー期待値の話おしまいーーーーーーーーー



準備運動はこれくらいでいいだろう…
詳細は



さて、今回理論考察するのは前回の考察のこの部分

---------前回の考察の抜粋---------
詳しい部分については、前回の考察(その2)を見てもらえると嬉しいです。

INT99↑の場合
実際の結果として、前回の記事では約4000回(実際は4320回ー324(回避回数)=3996回)殴られてキリエは280回発動しました。一度キリエが発動すると10回攻撃を防御できるので、280×10=2800回は防御していることになります。

つまり・・・被弾は4000回ー2800回=1200回となっているはずです。
本来、4000回ダメージを受けるはずが1200回に抑えられてるとしたら

1200/4000=0.3 つまり攻撃を30%に抑えているわけですから

攻撃を70%カットしていることになります。
--------------------------

この机上の空論は実際の実験結果である48%カットと大きく違う結果となってしまいました。

つまりこの机上の空論は、どこかが間違っているわけです。
間違っている箇所がどこかわかりますか?(というかこの記事をここまで読んでる方いらっしゃいますか…orz)


上記の考察で間違っているところは
キリエ発動中にキリエが発動する場合を全く考慮していない点です
ここで記号を用いて考えましょう

● キリエ発動マーク
□ キリエで攻撃を防御マーク
■ キリエで攻撃を防御中にキリエ発動
○ 攻撃を受ける(キリエ防御も発動もなし

<例1>
●□□□□□□□□□□○○○●

上記のような場合

キリエが発動

10回キリエで防御

被弾4回目でキリエが再発動

という流れになります。

前回抜粋記事の机上の空論は
全て<例1>にあるような一度キリエが発動したら10回防御をして再度キリエが発動するという条件になっているのです。


しかし、実際は違いますね。

<例2>
●□□■□□□□□□□□□□○○○○●
このようになる場合もありえるわけです。

キリエ発動

キリエ防御の3回目でキリエ発動

10回キリエ防御

5回目の被弾でキリエ再発動

□と■が実際に防御してる回数です。一度キリエが発動して13回防御してますね。
見方を変えると、2度キリエが発動したのに20回でなく13回しか防御できていないわけです。


机上の空論からずれるのは、<例1>と<例2>を見ると明らかですね。
さて、この問題にどのようにアプローチすればいいのでしょうか。

分かっていることは

キリエの発動率は7.2%
キリエは上書きされなければ10回防御する(これはMobの攻撃がMHPの3%以下)


何を今からしなければならないかというと
●+○と、■+□の比を求めることがとっても重要です。

なぜそれが重要か、一つ一つ見ていきましょう


アモン靴で<例1>のような振る舞いをした場合
●□□□□□□□□□□○○○●
5回攻撃を受けています

バリアントシューズの場合、あえて記号で書くなら
○○○○○○○○○○○○○○○
15回攻撃を受けています

この二つを比べると、アモン靴はバリアントと比べて1/3のダメージで済むわけです。
つまりアモン靴だと□または■の数だけ攻撃を無効化できて耐久力があがるわけです。


今の二つは15回だけをとって考えましたが無限個並べた時□+■と○+●の個数は耐久力がどの程度変わるのかを見る指標となるわけです。


具体例を出すと(*面倒なので□+■を□  ○+●を○としてます)
□が10個に○が5個ってことは、2/3は防御できてる

66.6666%攻撃をカットしている

という計算になるわけだ。


じゃぁ、無限個並べてみましょう。
並べた結果□+■と○+●の比がわかればアモン靴の耐久力がわかるのです。



じゃぁ、本題に入ります。(ここからは一気に難しくなります)

●□□・・・・・・□

最初に考えないといけないのは、一度キリエが発動した場合に何個□が続くのかです。
先ほども説明しましたように、最低10個は保障されているのですが…あとは確率でどんどん□が増えていくのです。

ものすごく極端な話、7.2%の発動率とはいえずーーーと発動する確率も0ではありません(当然恐ろしく確率は低いですが)

では実際、キリエが発動した場合いくつ続くのか?これを考えるのが期待値です。

まず、キリエ10回の中でもう一度キリエが発動する確率を考えてみます。
これはそこまで難しくなくて、10回の中で一度もキリエが発動しない場合の確率を考えて1から引けばでます。

つまり、1-0.072=0.928(これが1回でキリエが発動しない確率)

10回でキリエが発動しない確率は
(0.928)×(0.928)×(0.928)×(0.928)×(0.928)×(0.928)×(0.928)×(0.928)×(0.928)×(0.928)=(0.928)^10≒47.36

10回でキリエが発動しない確率は
47.36%

なので
1-0.4736=52.63

キリエバリア中にキリエが発動する確率は52.63%となります。

さて、キリエバリア中にキリエが発動する確率がわかりましたがどこで発動するのでしょうか?
1回目?5回目?それとも10回目?…どこで発動するかはわかりません。

<例>
1回目で発動した場合、キリエバリアは11回。
つまりキリエは最低保障の10回に1回プラスされるのです。

5回目で発動した場合 キリエバリアは15回
つまりキリエは最低保障の10回に5回プラスされるのです。

9回目で発動した場合 キリエバリアは19回
つまりキリエは最低保障の10回に9回プラスされるのです。


…今回は理論計算、つまり無限回防御した場合を考えます。
その場合を考えると、1~10の平均5回目で発動して5回バリアが追加されると平均をとることができます。


つまりどういうことか…
52.63%の確率で10回のバリアに5回バリアが追加されるのです。


理解できてる方いますか、いらっしゃいませんよね。
でも続けます。

つまり、キリエが発動して□がいくつ続くかの期待値は
10(もともとの10回)+0.5263×0.4736×5=11.2462

一度キリエが出ると、10回ではなく11.2462回キリエのバリアが期待できるわけです。

…しかし、この計算だけだと致命的な欠陥があります。
これだと、キリエ中にキリエが出た場合だけでキリエが2回上書きされた場合が考えられていません。

キリエ中にキリエが一度だけ発動の場合
0.5263×0.4736×5=1.2462 これが1回の場合の確率と確率変数を掛けたもの
*0.4736は、一度キリエが発動したあとにキリエが発動しない確率

キリエ中にキリエが出る場合を全部考える必要があるわけです。

キリエ中にキリエが2回でるということは、
52.63%の確率で2度52.63%の確率でキリエが発動するわけです。
その後47.36%の確率でキリエが発動ないことが必要
当然、バリアは5回ではなく5×2=10回だけ足されるはず。
0.5263×0.5263×0.4736×10=1.311 これが2回の場合の確率と確率変数を掛けたもの


キリエ中にキリエが3回でるということは、
52.63%の確率で3度52.63%の確率でキリエが発動するわけです。
その後47.36%の確率でキリエが発動ないことが必要
当然、バリアは5回ではなく5×3=15回だけ足されるはず。
0.5263×0.5263×0.5263×0.4736×15=1.035 これが3回の場合の確率と確率変数を掛けたもの


キリエ中にキリエが4回でるということは、
52.63%の確率で4度52.63%の確率でキリエが発動するわけです。
その後47.36%の確率でキリエが発動ないことが必要
当然、バリアは5回ではなく5×4=20回だけ足されるはず。
0.5263×0.5263×0.5263×0.5263×0.4763×20=0.7267 これが4回の場合の確率と確率変数を掛けたもの


・・・・いくつまで計算すればいいのでしょうか。
簡単に真の値に近付けるならば無限までやればいいですね(収束するのでそれで問題ありません)

さて、上を参考に

キリエ中にキリエがN回でるということは
52.63%の確率でN度52.63%の確率でキリエが発動するわけです。
その後47.36%の確率でキリエが発動ないことが必要
当然、バリアは5回ではなく5×N=5N回だけ足されるはず。
(0.5263)^N×0.4736×5N これがN回の場合の確率と確率変数を掛けたもの

N回の場合を考えることができたところで、期待値は確率と確率変数の総和でしたね。

つまりNが1~∞までの(0.5263)^N×0.4736×5Nを全部足せばいいわけです。

1回だけ発動する場合の確率と確率変数を掛けたもの
2回だけ発動する場合の確率と確率変数を掛けたもの
3回だけ発動する場合の確率と確率変数を掛けたもの
4回だけ発動する場合の確率と確率変数を掛けたもの



10回だけ発動する場合の確率と確率変数を掛けたもの



N回だけ発動する場合の確率と確率変数を掛けたもの



∞回だけ発動する場合の確率と確率変数を掛けたもの

全部の場合を足し合わせる必要があります。
当然一つ一つ求めて足してもいいのですが、世の中には偉いおじさんがいてこれを一つの式でまとめて解くことが可能となっています。

これを数学的に書くなら
limΣ{(0.5263)^N×0.4736×5N}
k→∞

*厳密に書けないのは、ブログ記事だから仕方ないということで許してください('ω'`)ユルセヨ

まぁ、こんな感じ。やってることは言葉の通りですべての値を足して□が何個続くことが期待できるのかを示した値です。

計算しましょう。自分は手計算しました。
あとでexcelにやってもらえば良かったと後悔

出てくる値は5.554
つまり、一度キリエが発動した場合に期待できるキリエの防御回数は15.55回となります。

長かった・・・・やっと出ました。
後は、キリエが切れてから発動するまでの被弾(○)がいくつ続くかなのですが、
1/0.072≒13.888続きます。

この式についてなのですが、例を挙げて考えてみましょう。

例えば、キリエ発動率がもし10%だとしたら何回に1回はキリエが発動することになるのでしょうか?
1/0.1=10 つまり10回に1回発動することになりますね。

例えば、キリエ発動率がもし50%だとしたら何回に一回はキリエが発動することになるのでしょうか?
1/0.5=2  つまり2回に1回発動することになりますね。(これは計算しなくても直感的にわかると思います)

今回は当然、7.2%の発動率なので
1/0.072=13.888となります。つまりキリエは13.88回被弾すると基本的には発動するということです。

以上より、とある瞬間キリエが発動して、□は15.55個続くことが期待されその後13.88回被弾して再度キリエが発動することがわかりました。

なので…
15.55+13.888=29.438
つまり、29.438回殴られたとすると15.55回は防御してくれるわけです。

15.55/29.438=0.5288

バリアントシューズと比べると
約53%カット攻撃をカットしてくれる(理論値です)

実測の計算結果だと約48%カットなのでまだすこし理論と実測がずれているという結果になりました。

結論:
アモン靴を履いての耐久力を期待値で考えて議論しました。その結果は通常靴よりも53%のダメージカットという結果になり、実測値と10%ずれる結果でした。しかし、明らかに机上の空論よりは実測値に近付けたという意味では考察する価値があったのではないでしょうか。

はい、あったと思いたいです。
こんな文字ばっかりの記事を開き、最後まで読んでくださってありがとうございました。


その4へ続く…


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